$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n \right) $ Tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: $ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n} $ Ahora en el numerador nos queda una diferencia de cuadrados: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 2n - 1})^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n} $ Simplificando el cuadrado y la raíz cuadrada, tenemos: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 2n - 1 - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n - 1}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n} $ Nos queda una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Para resolverla, empezamos a sacar factor común "el que manda" igual que como hacíamos en la práctica de Límites. $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2})} + n} $ Distribuimos la raíz y atenti acá: \(\sqrt{n^2} = |n|\), pero \(n\) toma valores positivos, así que nos queda \(\sqrt{n^2} = n\). 

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{n\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + n} $

Sacamos factor común $n$ en el denominador $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{n(\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + 1)} $ Simplificamos las \(n\) y tomamos el límite: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{2}{2} = 1$ Entonces, el límite de la sucesión cuando \(n\) tiende a infinito es: $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n = 1 $