$\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n \right)$ Tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}$ Ahora en el numerador nos queda una diferencia de cuadrados: $\lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 2n - 1})^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}$ Simplificando el cuadrado y la raíz cuadrada, tenemos: $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 2n - 1 - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n - 1}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}$ Nos queda una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Para resolverla, empezamos a sacar factor común "el que manda" igual que como hacíamos en la práctica de Límites. $\lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2})} + n}$ Distribuimos la raíz y atenti acá: $\sqrt{n^2} = |n|$, pero $n$ toma valores positivos, así que nos queda $\sqrt{n^2} = n$. 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{n\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + n}$

Sacamos factor común $n$ en el denominador $\lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - \frac{1}{n})}{n(\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + 1)}$ Simplificamos las $n$ y tomamos el límite: $\lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{2}{2} = 1$ Entonces, el límite de la sucesión cuando $n$ tiende a infinito es: $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n = 1$